פתור את {l}{x+y=64}{-0.12x+0.26y=0.19}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + y = 64 }\\{ - 0.12 x + 0.26 y = 0.19 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{1645}{38} = 43\frac{11}{38} \approx 43.289473684$$

$$y = \frac{787}{38} = 20\frac{27}{38} \approx 20.710526316$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=64,-0.12x+0.26y=0.19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=64$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+64$$

השתמש ב- ‎-y+64 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-0.12x+0.26y=0.19.

$$-0.12\left(-y+64\right)+0.26y=0.19$$

הכפל את ‎-0.12 ב- ‎-y+64.

$$0.12y-7.68+0.26y=0.19$$

הוסף את ‎\frac{3y}{25} ל- ‎\frac{13y}{50}.

$$0.38y-7.68=0.19$$

הוסף ‎7.68 לשני אגפי המשוואה.

$$0.38y=7.87$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.38, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{787}{38}$$

השתמש ב- ‎\frac{787}{38} במקום y ב- ‎x=-y+64. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{787}{38}+64$$

הוסף את ‎64 ל- ‎-\frac{787}{38}.

$$x=\frac{1645}{38}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1645}{38},y=\frac{787}{38}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=64,-0.12x+0.26y=0.19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.26}{0.26-\left(-0.12\right)}&-\frac{1}{0.26-\left(-0.12\right)}\\-\frac{-0.12}{0.26-\left(-0.12\right)}&\frac{1}{0.26-\left(-0.12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&-\frac{50}{19}\\\frac{6}{19}&\frac{50}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\times 64-\frac{50}{19}\times 0.19\\\frac{6}{19}\times 64+\frac{50}{19}\times 0.19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1645}{38}\\\frac{787}{38}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1645}{38},y=\frac{787}{38}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=64,-0.12x+0.26y=0.19$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-\frac{3x}{25} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-0.12 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-0.12x-0.12y=-0.12\times 64,-0.12x+0.26y=0.19$$

פשט.

$$-0.12x-0.12y=-7.68,-0.12x+0.26y=0.19$$

החסר את ‎-0.12x+0.26y=0.19 מ- ‎-0.12x-0.12y=-7.68 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-0.12x+0.12x-0.12y-0.26y=-7.68-0.19$$

הוסף את ‎-\frac{3x}{25} ל- ‎\frac{3x}{25}. האיברים ‎-\frac{3x}{25} ו- ‎\frac{3x}{25} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-0.12y-0.26y=-7.68-0.19$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{25} ל- ‎-\frac{13y}{50}.

$$-0.38y=-7.68-0.19$$

הוסף את ‎-7.68 ל- ‎-0.19 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-0.38y=-7.87$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.38, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{787}{38}$$

השתמש ב- ‎\frac{787}{38} במקום y ב- ‎-0.12x+0.26y=0.19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-0.12x+0.26\times \frac{787}{38}=0.19$$

הכפל את ‎0.26 ב- ‎\frac{787}{38} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-0.12x+\frac{10231}{1900}=0.19$$

החסר ‎\frac{10231}{1900} משני אגפי המשוואה.

$$-0.12x=-\frac{987}{190}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.12, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{1645}{38}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1645}{38},y=\frac{787}{38}$$