פתור את {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

חבר את ‎3 ו- ‎1 כדי לקבל ‎4.

$$x+2y=4+3y$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$x+2y-3y=4$$

כנס את ‎2y ו- ‎-3y כדי לקבל ‎-y.

$$x-y=4$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

הוסף ‎2y משני הצדדים.

$$8-y+2y=2+3x$$

כנס את ‎-y ו- ‎2y כדי לקבל ‎y.

$$8+y=2+3x$$

החסר ‎3x משני האגפים.

$$8+y-3x=2$$

החסר ‎8 משני האגפים.

$$y-3x=2-8$$

החסר את 8 מ- 2 כדי לקבל -6.

$$y-3x=-6$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=4$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y+4$$

השתמש ב- ‎y+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎y.

$$-2y-12=-6$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$-2y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-3.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

חבר את ‎3 ו- ‎1 כדי לקבל ‎4.

$$x+2y=4+3y$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$x+2y-3y=4$$

כנס את ‎2y ו- ‎-3y כדי לקבל ‎-y.

$$x-y=4$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

הוסף ‎2y משני הצדדים.

$$8-y+2y=2+3x$$

כנס את ‎-y ו- ‎2y כדי לקבל ‎y.

$$8+y=2+3x$$

החסר ‎3x משני האגפים.

$$8+y-3x=2$$

החסר ‎8 משני האגפים.

$$y-3x=2-8$$

החסר את 8 מ- 2 כדי לקבל -6.

$$y-3x=-6$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

חבר את ‎3 ו- ‎1 כדי לקבל ‎4.

$$x+2y=4+3y$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$x+2y-3y=4$$

כנס את ‎2y ו- ‎-3y כדי לקבל ‎-y.

$$x-y=4$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

הוסף ‎2y משני הצדדים.

$$8-y+2y=2+3x$$

כנס את ‎-y ו- ‎2y כדי לקבל ‎y.

$$8+y=2+3x$$

החסר ‎3x משני האגפים.

$$8+y-3x=2$$

החסר ‎8 משני האגפים.

$$y-3x=2-8$$

החסר את 8 מ- 2 כדי לקבל -6.

$$y-3x=-6$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

פשט.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

החסר את ‎-3x+y=-6 מ- ‎-3x+3y=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎3x. האיברים ‎-3x ו- ‎3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-y=-12+6$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-y.

$$2y=-12+6$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎6.

$$2y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎-3x+y=-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x-3=-6$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$-3x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-3$$