פתור את {l}{7x-8y=-12}{-4x+2y=3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x - 8 y = - 12 }\\{ - 4 x + 2 y = 3 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x-8y=-12$$

הוסף ‎8y לשני אגפי המשוואה.

$$7x=8y-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y-12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎8y-12.

$$x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{8y-12}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x+2y=3.

$$-4\left(\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}\right)+2y=3$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{8y-12}{7}.

$$-\frac{32}{7}y+\frac{48}{7}+2y=3$$

הוסף את ‎-\frac{32y}{7} ל- ‎2y.

$$-\frac{18}{7}y+\frac{48}{7}=3$$

החסר ‎\frac{48}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{18}{7}y=-\frac{27}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{18}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום y ב- ‎x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{3}{2}-\frac{12}{7}$$

הכפל את ‎\frac{8}{7} ב- ‎\frac{3}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{12-12}{7}$$

הוסף את ‎-\frac{12}{7} ל- ‎\frac{12}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&-\frac{-8}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{7}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\left(-12\right)-\frac{4}{9}\times 3\\-\frac{2}{9}\left(-12\right)-\frac{7}{18}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$-4\times 7x-4\left(-8\right)y=-4\left(-12\right),7\left(-4\right)x+7\times 2y=7\times 3$$

פשט.

$$-28x+32y=48,-28x+14y=21$$

החסר את ‎-28x+14y=21 מ- ‎-28x+32y=48 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-28x+28x+32y-14y=48-21$$

הוסף את ‎-28x ל- ‎28x. האיברים ‎-28x ו- ‎28x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$32y-14y=48-21$$

הוסף את ‎32y ל- ‎-14y.

$$18y=48-21$$

הוסף את ‎48 ל- ‎-21.

$$18y=27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$y=\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום y ב- ‎-4x+2y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x+2\times \frac{3}{2}=3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{3}{2}.

$$-4x+3=3$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$-4x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$