פתור את {l}{6.3x-4.1y=-3.5}{-8.7x+3.8y=-8.2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 6.3 x - 4.1 y = - 3.5 }\\{ - 8.7 x + 3.8 y = - 8.2 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6.3x-4.1y=-3.5,-8.7x+3.8y=-8.2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6.3x-4.1y=-3.5$$

הוסף ‎\frac{41y}{10} לשני אגפי המשוואה.

$$6.3x=4.1y-3.5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎6.3, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{10}{63}\left(4.1y-3.5\right)$$

הכפל את ‎\frac{10}{63} ב- ‎\frac{41y}{10}-3.5.

$$x=\frac{41}{63}y-\frac{5}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{41y}{63}-\frac{5}{9} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-8.7x+3.8y=-8.2.

$$-8.7\left(\frac{41}{63}y-\frac{5}{9}\right)+3.8y=-8.2$$

הכפל את ‎-8.7 ב- ‎\frac{41y}{63}-\frac{5}{9}.

$$-\frac{1189}{210}y+\frac{29}{6}+3.8y=-8.2$$

הוסף את ‎-\frac{1189y}{210} ל- ‎\frac{19y}{5}.

$$-\frac{391}{210}y+\frac{29}{6}=-8.2$$

החסר ‎\frac{29}{6} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{391}{210}y=-\frac{391}{30}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{391}{210}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=\frac{41}{63}y-\frac{5}{9}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{41}{63}\times 7-\frac{5}{9}$$

הכפל את ‎\frac{41}{63} ב- ‎7.

$$x=\frac{41-5}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{9} ל- ‎\frac{41}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6.3x-4.1y=-3.5,-8.7x+3.8y=-8.2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6.3&-4.1\\-8.7&3.8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3.5\\-8.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6.3&-4.1\\-8.7&3.8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.3&-4.1\\-8.7&3.8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.3&-4.1\\-8.7&3.8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.3&-4.1\\-8.7&3.8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3.5\\-8.2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.3&-4.1\\-8.7&3.8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3.5\\-8.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.3&-4.1\\-8.7&3.8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3.5\\-8.2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3.8}{6.3\times 3.8-\left(-4.1\left(-8.7\right)\right)}&-\frac{-4.1}{6.3\times 3.8-\left(-4.1\left(-8.7\right)\right)}\\-\frac{-8.7}{6.3\times 3.8-\left(-4.1\left(-8.7\right)\right)}&\frac{6.3}{6.3\times 3.8-\left(-4.1\left(-8.7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3.5\\-8.2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{380}{1173}&-\frac{410}{1173}\\-\frac{290}{391}&-\frac{210}{391}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3.5\\-8.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{380}{1173}\left(-3.5\right)-\frac{410}{1173}\left(-8.2\right)\\-\frac{290}{391}\left(-3.5\right)-\frac{210}{391}\left(-8.2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6.3x-4.1y=-3.5,-8.7x+3.8y=-8.2$$

כדי להפוך את ‎\frac{63x}{10} ו- ‎-\frac{87x}{10} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-8.7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.3.

$$-8.7\times 6.3x-8.7\left(-4.1\right)y=-8.7\left(-3.5\right),6.3\left(-8.7\right)x+6.3\times 3.8y=6.3\left(-8.2\right)$$

פשט.

$$-54.81x+35.67y=30.45,-54.81x+23.94y=-51.66$$

החסר את ‎-54.81x+23.94y=-51.66 מ- ‎-54.81x+35.67y=30.45 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-54.81x+54.81x+35.67y-23.94y=30.45+51.66$$

הוסף את ‎-\frac{5481x}{100} ל- ‎\frac{5481x}{100}. האיברים ‎-\frac{5481x}{100} ו- ‎\frac{5481x}{100} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$35.67y-23.94y=30.45+51.66$$

הוסף את ‎\frac{3567y}{100} ל- ‎-\frac{1197y}{50}.

$$11.73y=30.45+51.66$$

הוסף את ‎30.45 ל- ‎51.66 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$11.73y=82.11$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎11.73, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎-8.7x+3.8y=-8.2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-8.7x+3.8\times 7=-8.2$$

הכפל את ‎3.8 ב- ‎7.

$$-8.7x+26.6=-8.2$$

החסר ‎26.6 משני אגפי המשוואה.

$$-8.7x=-34.8$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-8.7, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=7$$