פתור את {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-4y=-7$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=4y-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{4y-7}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎\frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

הוסף את ‎-\frac{24y}{5} ל- ‎8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

החסר ‎\frac{42}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{16}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

הכפל את ‎\frac{4}{5} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{5} ל- ‎-\frac{8}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎-6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

פשט.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

החסר את ‎-30x+40y=10 מ- ‎-30x+24y=42 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

הוסף את ‎-30x ל- ‎30x. האיברים ‎-30x ו- ‎30x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$24y-40y=42-10$$

הוסף את ‎24y ל- ‎-40y.

$$-16y=42-10$$

הוסף את ‎42 ל- ‎-10.

$$-16y=32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-16.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎-6x+8y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-2.

$$-6x-16=2$$

הוסף ‎16 לשני אגפי המשוואה.

$$-6x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-2$$