פתור את {l}{4x-7y=10}{-3x+2y=-9}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 7 y = 10 }\\{ - 3 x + 2 y = - 9 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{43}{13} = 3\frac{4}{13} \approx 3.307692308$$

$$y=\frac{6}{13}\approx 0.461538462$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-7y=10$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=7y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎7y+10.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{7y}{4}+\frac{5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+2y=-9.

$$-3\left(\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}\right)+2y=-9$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{7y}{4}+\frac{5}{2}.

$$-\frac{21}{4}y-\frac{15}{2}+2y=-9$$

הוסף את ‎-\frac{21y}{4} ל- ‎2y.

$$-\frac{13}{4}y-\frac{15}{2}=-9$$

הוסף ‎\frac{15}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{3}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{13}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{6}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{6}{13} במקום y ב- ‎x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{4}\times \frac{6}{13}+\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{7}{4} ב- ‎\frac{6}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{21}{26}+\frac{5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎\frac{21}{26} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{43}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{3}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 10-\frac{7}{13}\left(-9\right)\\-\frac{3}{13}\times 10-\frac{4}{13}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{43}{13}\\\frac{6}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-3\times 4x-3\left(-7\right)y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 2y=4\left(-9\right)$$

פשט.

$$-12x+21y=-30,-12x+8y=-36$$

החסר את ‎-12x+8y=-36 מ- ‎-12x+21y=-30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-12x+12x+21y-8y=-30+36$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎12x. האיברים ‎-12x ו- ‎12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$21y-8y=-30+36$$

הוסף את ‎21y ל- ‎-8y.

$$13y=-30+36$$

הוסף את ‎-30 ל- ‎36.

$$13y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$y=\frac{6}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{6}{13} במקום y ב- ‎-3x+2y=-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x+2\times \frac{6}{13}=-9$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{6}{13}.

$$-3x+\frac{12}{13}=-9$$

החסר ‎\frac{12}{13} משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-\frac{129}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=\frac{43}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$