פתור את {l}{4x-2y=13}{-2x+2y=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 2 y = 13 }\\{ - 2 x + 2 y = 1 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=7$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-2y=13$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=2y+13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+13\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎2y+13.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}+\frac{13}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x+2y=1.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}\right)+2y=1$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{y}{2}+\frac{13}{4}.

$$-y-\frac{13}{2}+2y=1$$

הוסף את ‎-y ל- ‎2y.

$$y-\frac{13}{2}=1$$

הוסף ‎\frac{13}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{15}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{15}{2} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{15}{2}+\frac{13}{4}$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎\frac{15}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{15+13}{4}$$

הוסף את ‎\frac{13}{4} ל- ‎\frac{15}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 13+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 13+1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 13,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4$$

פשט.

$$-8x+4y=-26,-8x+8y=4$$

החסר את ‎-8x+8y=4 מ- ‎-8x+4y=-26 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-8x+8x+4y-8y=-26-4$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎8x. האיברים ‎-8x ו- ‎8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-8y=-26-4$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-8y.

$$-4y=-26-4$$

הוסף את ‎-26 ל- ‎-4.

$$-4y=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=\frac{15}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{15}{2} במקום y ב- ‎-2x+2y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x+2\times \frac{15}{2}=1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{15}{2}.

$$-2x+15=1$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-2x=-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$