פתור את {l}{4x+2y=20}{-4x+3y=20}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x + 2 y = 20 }\\{ - 4 x + 3 y = 20 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+2y=20,-4x+3y=20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+2y=20$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-2y+20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+20\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-2y+20.

$$x=-\frac{1}{2}y+5$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x+3y=20.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y+5\right)+3y=20$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{y}{2}+5.

$$2y-20+3y=20$$

הוסף את ‎2y ל- ‎3y.

$$5y-20=20$$

הוסף ‎20 לשני אגפי המשוואה.

$$5y=40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 8+5$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎8.

$$x=-4+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-4.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+2y=20,-4x+3y=20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{4\times 3-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-2\left(-4\right)}&\frac{4}{4\times 3-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\\\frac{1}{5}\times 20+\frac{1}{5}\times 20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+2y=20,-4x+3y=20$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-4\times 4x-4\times 2y=-4\times 20,4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 20$$

פשט.

$$-16x-8y=-80,-16x+12y=80$$

החסר את ‎-16x+12y=80 מ- ‎-16x-8y=-80 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-16x+16x-8y-12y=-80-80$$

הוסף את ‎-16x ל- ‎16x. האיברים ‎-16x ו- ‎16x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-8y-12y=-80-80$$

הוסף את ‎-8y ל- ‎-12y.

$$-20y=-80-80$$

הוסף את ‎-80 ל- ‎-80.

$$-20y=-160$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-20.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎-4x+3y=20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x+3\times 8=20$$

הכפל את ‎3 ב- ‎8.

$$-4x+24=20$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=8$$