פתור את {l}{4a+2b=34}{16a+3b=91}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 a + 2 b = 34 }\\{ 16 a + 3 b = 91 }\end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=4$$

$$b=9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4a+2b=34$$

החסר ‎2b משני אגפי המשוואה.

$$4a=-2b+34$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$a=\frac{1}{4}\left(-2b+34\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-2b+34.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-b+17}{2} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎16a+3b=91.

$$16\left(-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}\right)+3b=91$$

הכפל את ‎16 ב- ‎\frac{-b+17}{2}.

$$-8b+136+3b=91$$

הוסף את ‎-8b ל- ‎3b.

$$-5b+136=91$$

החסר ‎136 משני אגפי המשוואה.

$$-5b=-45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$b=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום b ב- ‎a=-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{1}{2}\times 9+\frac{17}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎9.

$$a=\frac{-9+17}{2}$$

הוסף את ‎\frac{17}{2} ל- ‎-\frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=4,b=9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-2\times 16}&-\frac{2}{4\times 3-2\times 16}\\-\frac{16}{4\times 3-2\times 16}&\frac{4}{4\times 3-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}\times 34+\frac{1}{10}\times 91\\\frac{4}{5}\times 34-\frac{1}{5}\times 91\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=4,b=9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

כדי להפוך את ‎4a ו- ‎16a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎16 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$16\times 4a+16\times 2b=16\times 34,4\times 16a+4\times 3b=4\times 91$$

פשט.

$$64a+32b=544,64a+12b=364$$

החסר את ‎64a+12b=364 מ- ‎64a+32b=544 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$64a-64a+32b-12b=544-364$$

הוסף את ‎64a ל- ‎-64a. האיברים ‎64a ו- ‎-64a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$32b-12b=544-364$$

הוסף את ‎32b ל- ‎-12b.

$$20b=544-364$$

הוסף את ‎544 ל- ‎-364.

$$20b=180$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$b=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום b ב- ‎16a+3b=91. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$16a+3\times 9=91$$

הכפל את ‎3 ב- ‎9.

$$16a+27=91$$

החסר ‎27 משני אגפי המשוואה.

$$16a=64$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$a=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=4,b=9$$