פתור את {l}{30=6.5L+8.5C}{L+C=4}

$$\left. \begin{array}{l}{ 30 = 6.5 L + 8.5 C }\\{ L + C = 4 }\end{array} \right.$$

פתור עבור L, C

$$L=2$$

$$C=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$6.5L+8.5C=30$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6.5L+8.5C=30,L+C=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור L על-ידי בידוד L בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6.5L+8.5C=30$$

החסר ‎\frac{17C}{2} משני אגפי המשוואה.

$$6.5L=-8.5C+30$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎6.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$L=\frac{2}{13}\left(-8.5C+30\right)$$

הכפל את ‎\frac{2}{13} ב- ‎-\frac{17C}{2}+30.

$$L=-\frac{17}{13}C+\frac{60}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{-17C+60}{13} במקום ‎L במשוואה השניה, ‎L+C=4.

$$-\frac{17}{13}C+\frac{60}{13}+C=4$$

הוסף את ‎-\frac{17C}{13} ל- ‎C.

$$-\frac{4}{13}C+\frac{60}{13}=4$$

החסר ‎\frac{60}{13} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{4}{13}C=-\frac{8}{13}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{4}{13}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$C=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום C ב- ‎L=-\frac{17}{13}C+\frac{60}{13}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את L ישירות.

$$L=-\frac{17}{13}\times 2+\frac{60}{13}$$

הכפל את ‎-\frac{17}{13} ב- ‎2.

$$L=\frac{-34+60}{13}$$

הוסף את ‎\frac{60}{13} ל- ‎-\frac{34}{13} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$L=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$L=2,C=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$6.5L+8.5C=30$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6.5L+8.5C=30,L+C=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6.5&8.5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6.5&8.5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.5&8.5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5&8.5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&8.5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&8.5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&8.5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6.5-8.5}&-\frac{8.5}{6.5-8.5}\\-\frac{1}{6.5-8.5}&\frac{6.5}{6.5-8.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{17}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{13}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 30+\frac{17}{4}\times 4\\\frac{1}{2}\times 30-\frac{13}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה L ו- C.

$$L=2,C=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$6.5L+8.5C=30$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6.5L+8.5C=30,L+C=4$$

כדי להפוך את ‎\frac{13L}{2} ו- ‎L לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.5.

$$6.5L+8.5C=30,6.5L+6.5C=6.5\times 4$$

פשט.

$$6.5L+8.5C=30,6.5L+6.5C=26$$

החסר את ‎6.5L+6.5C=26 מ- ‎6.5L+8.5C=30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6.5L-6.5L+8.5C-6.5C=30-26$$

הוסף את ‎\frac{13L}{2} ל- ‎-\frac{13L}{2}. האיברים ‎\frac{13L}{2} ו- ‎-\frac{13L}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8.5C-6.5C=30-26$$

הוסף את ‎\frac{17C}{2} ל- ‎-\frac{13C}{2}.

$$2C=30-26$$

הוסף את ‎30 ל- ‎-26.

$$2C=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$C=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום C ב- ‎L+C=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את L ישירות.

$$L+2=4$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$L=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$L=2,C=2$$