פתור את {l}{3x-y=3}{x-y=4}

$$\left. \begin{array}{l}{ 3 x - y = 3 }\\{ x - y = 4 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-y=3,x-y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-y=3$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎y+3.

$$x=\frac{1}{3}y+1$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{3}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=4.

$$\frac{1}{3}y+1-y=4$$

הוסף את ‎\frac{y}{3} ל- ‎-y.

$$-\frac{2}{3}y+1=4$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{2}{3}y=3$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{2}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{9}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{9}{2} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{9}{2}\right)+1$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-\frac{9}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{3}{2}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-\frac{3}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{2},y=-\frac{9}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-y=3,x-y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 3-\frac{3}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{1}{2},y=-\frac{9}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-y=3,x-y=4$$

החסר את ‎x-y=4 מ- ‎3x-y=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-x-y+y=3-4$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3x-x=3-4$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-x.

$$2x=3-4$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-4.

$$2x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום x ב- ‎x-y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-\frac{1}{2}-y=4$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$-y=\frac{9}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{2},y=-\frac{9}{2}$$