פתור את {l}{12x-4y=-4}{3x+8y=17}

$$\left. \begin{array}{l}{ 12 x - 4 y = - 4 }\\{ 3 x + 8 y = 17 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$12x-4y=-4$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$12x=4y-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$x=\frac{1}{12}\left(4y-4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{12} ב- ‎-4+4y.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-1+y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+8y=17.

$$3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=17$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-1+y}{3}.

$$y-1+8y=17$$

הוסף את ‎y ל- ‎8y.

$$9y-1=17$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$9y=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎2.

$$x=\frac{2-1}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{3} ל- ‎\frac{2}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&\frac{12}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{27}\\-\frac{1}{36}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-4\right)+\frac{1}{27}\times 17\\-\frac{1}{36}\left(-4\right)+\frac{1}{9}\times 17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

כדי להפוך את ‎12x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎12.

$$3\times 12x+3\left(-4\right)y=3\left(-4\right),12\times 3x+12\times 8y=12\times 17$$

פשט.

$$36x-12y=-12,36x+96y=204$$

החסר את ‎36x+96y=204 מ- ‎36x-12y=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$36x-36x-12y-96y=-12-204$$

הוסף את ‎36x ל- ‎-36x. האיברים ‎36x ו- ‎-36x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y-96y=-12-204$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎-96y.

$$-108y=-12-204$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎-204.

$$-108y=-216$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-108.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎3x+8y=17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+8\times 2=17$$

הכפל את ‎8 ב- ‎2.

$$3x+16=17$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$3x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$