פתור את {l}{-5x+y=-11}{4x-6y=14}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + y = - 11 }\\{ 4 x - 6 y = 14 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-5x+y=-11$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$-5x=-y-11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-11\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎-y-11.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{11+y}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-6y=14.

$$4\left(\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}\right)-6y=14$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{11+y}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{44}{5}-6y=14$$

הוסף את ‎\frac{4y}{5} ל- ‎-6y.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{44}{5}=14$$

החסר ‎\frac{44}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{26}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{26}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{11}{5}$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-1+11}{5}$$

הוסף את ‎\frac{11}{5} ל- ‎-\frac{1}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{1}{-5\left(-6\right)-4}\\-\frac{4}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-6\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{2}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\left(-11\right)-\frac{1}{26}\times 14\\-\frac{2}{13}\left(-11\right)-\frac{5}{26}\times 14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

כדי להפוך את ‎-5x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-5.

$$4\left(-5\right)x+4y=4\left(-11\right),-5\times 4x-5\left(-6\right)y=-5\times 14$$

פשט.

$$-20x+4y=-44,-20x+30y=-70$$

החסר את ‎-20x+30y=-70 מ- ‎-20x+4y=-44 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-20x+20x+4y-30y=-44+70$$

הוסף את ‎-20x ל- ‎20x. האיברים ‎-20x ו- ‎20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-30y=-44+70$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-30y.

$$-26y=-44+70$$

הוסף את ‎-44 ל- ‎70.

$$-26y=26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-26.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎4x-6y=14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-6\left(-1\right)=14$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎-1.

$$4x+6=14$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$4x=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-1$$