פתור את {l}{x^2/16-y^2/25=1}{125x-48y=481}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x ^ { 2 } } { 16 } - \frac { y ^ { 2 } } { 25 } = 1 }\\{ 125 x - 48 y = 481 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{108\sqrt{481}}{2405}+5\approx 4.015124774\text{, }y=-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\approx 0.435220767$$

$$x=\frac{108\sqrt{481}}{2405}+5\approx 5.984875226\text{, }y=\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\approx 5.564779233$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 400, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 16,25.

$$25x^{2}-16y^{2}=400$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$125x-48y=481,-16y^{2}+25x^{2}=400$$

פתור את ‎125x-48y=481 עבור ‎x על-ידי בידוד ‎x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$125x-48y=481$$

החסר ‎-48y משני אגפי המשוואה.

$$125x=48y+481$$

חלק את שני האגפים ב- ‎125.

$$x=\frac{48}{125}y+\frac{481}{125}$$

השתמש ב- ‎\frac{48}{125}y+\frac{481}{125} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-16y^{2}+25x^{2}=400.

$$-16y^{2}+25\left(\frac{48}{125}y+\frac{481}{125}\right)^{2}=400$$

‎\frac{48}{125}y+\frac{481}{125} בריבוע.

$$-16y^{2}+25\left(\frac{2304}{15625}y^{2}+\frac{46176}{15625}y+\frac{231361}{15625}\right)=400$$

הכפל את ‎25 ב- ‎\frac{2304}{15625}y^{2}+\frac{46176}{15625}y+\frac{231361}{15625}.

$$-16y^{2}+\frac{2304}{625}y^{2}+\frac{46176}{625}y+\frac{231361}{625}=400$$

הוסף את ‎-16y^{2} ל- ‎\frac{2304}{625}y^{2}.

$$-\frac{7696}{625}y^{2}+\frac{46176}{625}y+\frac{231361}{625}=400$$

החסר ‎400 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7696}{625}y^{2}+\frac{46176}{625}y-\frac{18639}{625}=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -16+25\times \left(\frac{48}{125}\right)^{2} במקום a, ב- 25\times \frac{481}{125}\times \frac{48}{125}\times 2 במקום b, וב- -\frac{18639}{625} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\left(\frac{46176}{625}\right)^{2}-4\left(-\frac{7696}{625}\right)\left(-\frac{18639}{625}\right)}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

‎25\times \frac{481}{125}\times \frac{48}{125}\times 2 בריבוע.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2132222976}{390625}-4\left(-\frac{7696}{625}\right)\left(-\frac{18639}{625}\right)}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-16+25\times \left(\frac{48}{125}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2132222976}{390625}+\frac{30784}{625}\left(-\frac{18639}{625}\right)}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

הכפל את ‎\frac{30784}{625} ב- ‎-\frac{18639}{625} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2132222976-573782976}{390625}}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

הוסף את ‎\frac{2132222976}{390625} ל- ‎-\frac{573782976}{390625} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2493504}{625}}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של \frac{2493504}{625}.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-16+25\times \left(\frac{48}{125}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{-\frac{15392}{625}}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{-\frac{15392}{625}} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-\frac{46176}{625} ל- ‎\frac{72\sqrt{481}}{25}.

$$y=\frac{\frac{72\sqrt{481}}{25}-\frac{46176}{625}}{-\frac{15392}{625}}$$

חלק את ‎-\frac{46176}{625}+\frac{72\sqrt{481}}{25} ב- ‎-\frac{15392}{625} על-ידי הכפלת ‎-\frac{46176}{625}+\frac{72\sqrt{481}}{25} בהופכי של ‎-\frac{15392}{625}.

$$y=-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{-\frac{15392}{625}} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\frac{72\sqrt{481}}{25} מ- ‎-\frac{46176}{625}.

$$y=\frac{-\frac{72\sqrt{481}}{25}-\frac{46176}{625}}{-\frac{15392}{625}}$$

חלק את ‎-\frac{46176}{625}-\frac{72\sqrt{481}}{25} ב- ‎-\frac{15392}{625} על-ידי הכפלת ‎-\frac{46176}{625}-\frac{72\sqrt{481}}{25} בהופכי של ‎-\frac{15392}{625}.

$$y=\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎y‏: ‎3-\frac{225\sqrt{481}}{1924} ו- ‎3+\frac{225\sqrt{481}}{1924}. השתמש ב- ‎3-\frac{225\sqrt{481}}{1924} במקום ‎y במשוואה ‎x=\frac{48}{125}y+\frac{481}{125} כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=\frac{48}{125}\left(-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+\frac{481}{125}$$

הכפל את ‎\frac{48}{125} ב- ‎3-\frac{225\sqrt{481}}{1924}.

$$x=\frac{48\left(-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125}$$

כעת השתמש ב- ‎3+\frac{225\sqrt{481}}{1924} במקום ‎y במשוואה x=\frac{48}{125}y+\frac{481}{125} ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=\frac{48}{125}\left(\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+\frac{481}{125}$$

הכפל את ‎\frac{48}{125} ב- ‎3+\frac{225\sqrt{481}}{1924}.

$$x=\frac{48\left(\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{48\left(-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125},y=-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\text{ or }x=\frac{48\left(\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125},y=\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3$$