פתור את {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=17$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎-1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 3\left(y+1\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+1.

$$3x+3=y+1$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$3x+3-y=1$$

החסר ‎3 משני האגפים.

$$3x-y=1-3$$

החסר את 3 מ- 1 כדי לקבל -2.

$$3x-y=-2$$

שקול את המשוואה השניה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 4\left(y-1\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x-1.

$$4x-4=y-1$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$4x-4-y=-1$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$4x-y=-1+4$$

חבר את ‎-1 ו- ‎4 כדי לקבל ‎3.

$$4x-y=3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-y=-2$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=y-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2+y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-y=3.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-2+y}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

הוסף את ‎\frac{4y}{3} ל- ‎-y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

הוסף ‎\frac{8}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=17$$

השתמש ב- ‎17 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎17.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{2}{3} ל- ‎\frac{17}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=17$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎-1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 3\left(y+1\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+1.

$$3x+3=y+1$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$3x+3-y=1$$

החסר ‎3 משני האגפים.

$$3x-y=1-3$$

החסר את 3 מ- 1 כדי לקבל -2.

$$3x-y=-2$$

שקול את המשוואה השניה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 4\left(y-1\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x-1.

$$4x-4=y-1$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$4x-4-y=-1$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$4x-y=-1+4$$

חבר את ‎-1 ו- ‎4 כדי לקבל ‎3.

$$4x-y=3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=17$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎-1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 3\left(y+1\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+1.

$$3x+3=y+1$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$3x+3-y=1$$

החסר ‎3 משני האגפים.

$$3x-y=1-3$$

החסר את 3 מ- 1 כדי לקבל -2.

$$3x-y=-2$$

שקול את המשוואה השניה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 4\left(y-1\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x-1.

$$4x-4=y-1$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$4x-4-y=-1$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$4x-y=-1+4$$

חבר את ‎-1 ו- ‎4 כדי לקבל ‎3.

$$4x-y=3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

החסר את ‎4x-y=3 מ- ‎3x-y=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3x-4x=-2-3$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-4x.

$$-x=-2-3$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-3.

$$-x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום x ב- ‎4x-y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$4\times 5-y=3$$

הכפל את ‎4 ב- ‎5.

$$20-y=3$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=17$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=17$$