פתור את {r}{x-1=y+1}{2(y-1)=x+1}

$$\left. \begin{array} { r } { x - 1 = y + 1 } \\ { 2 ( y - 1 ) = x + 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=7$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-1-y=1$$

הוסף ‎1 משני הצדדים.

$$x-y=1+1$$

חבר את ‎1 ו- ‎1 כדי לקבל ‎2.

$$x-y=2$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y-1.

$$2y-2=x+1$$

החסר ‎x משני האגפים.

$$2y-2-x=1$$

הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$2y-x=1+2$$

חבר את ‎1 ו- ‎2 כדי לקבל ‎3.

$$2y-x=3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=2$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y+2$$

השתמש ב- ‎y+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+2y=3.

$$-\left(y+2\right)+2y=3$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎y+2.

$$-y-2+2y=3$$

הוסף את ‎-y ל- ‎2y.

$$y-2=3$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=5+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎5.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-1-y=1$$

הוסף ‎1 משני הצדדים.

$$x-y=1+1$$

חבר את ‎1 ו- ‎1 כדי לקבל ‎2.

$$x-y=2$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y-1.

$$2y-2=x+1$$

החסר ‎x משני האגפים.

$$2y-2-x=1$$

הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$2y-x=1+2$$

חבר את ‎1 ו- ‎2 כדי לקבל ‎3.

$$2y-x=3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2+3\\2+3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=7,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-1-y=1$$

הוסף ‎1 משני הצדדים.

$$x-y=1+1$$

חבר את ‎1 ו- ‎1 כדי לקבל ‎2.

$$x-y=2$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y-1.

$$2y-2=x+1$$

החסר ‎x משני האגפים.

$$2y-2-x=1$$

הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$2y-x=1+2$$

חבר את ‎1 ו- ‎2 כדי לקבל ‎3.

$$2y-x=3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-x-\left(-y\right)=-2,-x+2y=3$$

פשט.

$$-x+y=-2,-x+2y=3$$

החסר את ‎-x+2y=3 מ- ‎-x+y=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x+x+y-2y=-2-3$$

הוסף את ‎-x ל- ‎x. האיברים ‎-x ו- ‎x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-2y=-2-3$$

הוסף את ‎y ל- ‎-2y.

$$-y=-2-3$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-3.

$$-y=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎-x+2y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+2\times 5=3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$-x+10=3$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=5$$