פתור את {r}{x+y=31}{3y=x+19}

$$\left. \begin{array} { r } { x + y = 31 } \\ { 3 y = x + 19 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{37}{2} = 18\frac{1}{2} = 18.5$$

$$y = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$3y-x=19$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=31,-x+3y=19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=31$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+31$$

השתמש ב- ‎-y+31 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+3y=19.

$$-\left(-y+31\right)+3y=19$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-y+31.

$$y-31+3y=19$$

הוסף את ‎y ל- ‎3y.

$$4y-31=19$$

הוסף ‎31 לשני אגפי המשוואה.

$$4y=50$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=\frac{25}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{25}{2} במקום y ב- ‎x=-y+31. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{25}{2}+31$$

הוסף את ‎31 ל- ‎-\frac{25}{2}.

$$x=\frac{37}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{25}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$3y-x=19$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=31,-x+3y=19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\19\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-1\right)}&-\frac{1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}&\frac{1}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 31-\frac{1}{4}\times 19\\\frac{1}{4}\times 31+\frac{1}{4}\times 19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{2}\\\frac{25}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{25}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$3y-x=19$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=31,-x+3y=19$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-x-y=-31,-x+3y=19$$

החסר את ‎-x+3y=19 מ- ‎-x-y=-31 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x+x-y-3y=-31-19$$

הוסף את ‎-x ל- ‎x. האיברים ‎-x ו- ‎x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-y-3y=-31-19$$

הוסף את ‎-y ל- ‎-3y.

$$-4y=-31-19$$

הוסף את ‎-31 ל- ‎-19.

$$-4y=-50$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=\frac{25}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{25}{2} במקום y ב- ‎-x+3y=19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+3\times \frac{25}{2}=19$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{25}{2}.

$$-x+\frac{75}{2}=19$$

החסר ‎\frac{75}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-x=-\frac{37}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=\frac{37}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{25}{2}$$