פתור את {r}{x+4y=25}{-4x+3y=52}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 25 } \\ { - 4 x + 3 y = 52 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+4y=25$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$x=-4y+25$$

השתמש ב- ‎-4y+25 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x+3y=52.

$$-4\left(-4y+25\right)+3y=52$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-4y+25.

$$16y-100+3y=52$$

הוסף את ‎16y ל- ‎3y.

$$19y-100=52$$

הוסף ‎100 לשני אגפי המשוואה.

$$19y=152$$

חלק את שני האגפים ב- ‎19.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎x=-4y+25. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-4\times 8+25$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$x=-32+25$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-32.

$$x=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-7,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-4\left(-4\right)}&\frac{1}{3-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\\\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 25-\frac{4}{19}\times 52\\\frac{4}{19}\times 25+\frac{1}{19}\times 52\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-7,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-4x-4\times 4y=-4\times 25,-4x+3y=52$$

פשט.

$$-4x-16y=-100,-4x+3y=52$$

החסר את ‎-4x+3y=52 מ- ‎-4x-16y=-100 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-4x+4x-16y-3y=-100-52$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎4x. האיברים ‎-4x ו- ‎4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-16y-3y=-100-52$$

הוסף את ‎-16y ל- ‎-3y.

$$-19y=-100-52$$

הוסף את ‎-100 ל- ‎-52.

$$-19y=-152$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎-4x+3y=52. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x+3\times 8=52$$

הכפל את ‎3 ב- ‎8.

$$-4x+24=52$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$-4x=28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-7,y=8$$