פתור את {r}{d+q=40}{10d+0.25q=5.80}

$$\left. \begin{array} { r } { d + q = 40 } \\ { 10 d + 0.25 q = 5.80 } \end{array} \right.$$

פתור עבור d, q

$$d=-\frac{28}{65}\approx -0.430769231$$

$$q = \frac{2628}{65} = 40\frac{28}{65} \approx 40.430769231$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור d על-ידי בידוד d בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$d+q=40$$

החסר ‎q משני אגפי המשוואה.

$$d=-q+40$$

השתמש ב- ‎-q+40 במקום ‎d במשוואה השניה, ‎10d+0.25q=5.8.

$$10\left(-q+40\right)+0.25q=5.8$$

הכפל את ‎10 ב- ‎-q+40.

$$-10q+400+0.25q=5.8$$

הוסף את ‎-10q ל- ‎\frac{q}{4}.

$$-9.75q+400=5.8$$

החסר ‎400 משני אגפי המשוואה.

$$-9.75q=-394.2$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-9.75, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$q=\frac{2628}{65}$$

השתמש ב- ‎\frac{2628}{65} במקום q ב- ‎d=-q+40. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את d ישירות.

$$d=-\frac{2628}{65}+40$$

הוסף את ‎40 ל- ‎-\frac{2628}{65}.

$$d=-\frac{28}{65}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.25}{0.25-10}&-\frac{1}{0.25-10}\\-\frac{10}{0.25-10}&\frac{1}{0.25-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}&\frac{4}{39}\\\frac{40}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}\times 40+\frac{4}{39}\times 5.8\\\frac{40}{39}\times 40-\frac{4}{39}\times 5.8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{65}\\\frac{2628}{65}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה d ו- q.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

כדי להפוך את ‎d ו- ‎10d לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎10 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$10d+10q=10\times 40,10d+0.25q=5.8$$

פשט.

$$10d+10q=400,10d+0.25q=5.8$$

החסר את ‎10d+0.25q=5.8 מ- ‎10d+10q=400 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10d-10d+10q-0.25q=400-5.8$$

הוסף את ‎10d ל- ‎-10d. האיברים ‎10d ו- ‎-10d מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10q-0.25q=400-5.8$$

הוסף את ‎10q ל- ‎-\frac{q}{4}.

$$9.75q=400-5.8$$

הוסף את ‎400 ל- ‎-5.8.

$$9.75q=394.2$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎9.75, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$q=\frac{2628}{65}$$

השתמש ב- ‎\frac{2628}{65} במקום q ב- ‎10d+0.25q=5.8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את d ישירות.

$$10d+0.25\times \frac{2628}{65}=5.8$$

הכפל את ‎0.25 ב- ‎\frac{2628}{65} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10d+\frac{657}{65}=5.8$$

החסר ‎\frac{657}{65} משני אגפי המשוואה.

$$10d=-\frac{56}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$d=-\frac{28}{65}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$