פתור את {r}{a+b=20}{6a+2b=20}

$$\left. \begin{array} { r } { a + b = 20 } \\ { 6 a + 2 b = 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=-5$$

$$b=25$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$a+b=20$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$a=-b+20$$

השתמש ב- ‎-b+20 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎6a+2b=20.

$$6\left(-b+20\right)+2b=20$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-b+20.

$$-6b+120+2b=20$$

הוסף את ‎-6b ל- ‎2b.

$$-4b+120=20$$

החסר ‎120 משני אגפי המשוואה.

$$-4b=-100$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$b=25$$

השתמש ב- ‎25 במקום b ב- ‎a=-b+20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-25+20$$

הוסף את ‎20 ל- ‎-25.

$$a=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-5,b=25$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6}&-\frac{1}{2-6}\\-\frac{6}{2-6}&\frac{1}{2-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\\frac{3}{2}\times 20-\frac{1}{4}\times 20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\25\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=-5,b=25$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

כדי להפוך את ‎a ו- ‎6a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$6a+6b=6\times 20,6a+2b=20$$

פשט.

$$6a+6b=120,6a+2b=20$$

החסר את ‎6a+2b=20 מ- ‎6a+6b=120 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6a-6a+6b-2b=120-20$$

הוסף את ‎6a ל- ‎-6a. האיברים ‎6a ו- ‎-6a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6b-2b=120-20$$

הוסף את ‎6b ל- ‎-2b.

$$4b=120-20$$

הוסף את ‎120 ל- ‎-20.

$$4b=100$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$b=25$$

השתמש ב- ‎25 במקום b ב- ‎6a+2b=20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$6a+2\times 25=20$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$6a+50=20$$

החסר ‎50 משני אגפי המשוואה.

$$6a=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$a=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-5,b=25$$