פתור את {r}{8x+y=21}{24x-5y=23}

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x+y=21$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$8x=-y+21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎-y+21.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+21}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎24x-5y=23.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

הכפל את ‎24 ב- ‎\frac{-y+21}{8}.

$$-3y+63-5y=23$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-5y.

$$-8y+63=23$$

החסר ‎63 משני אגפי המשוואה.

$$-8y=-40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{8} ב- ‎5.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

הוסף את ‎\frac{21}{8} ל- ‎-\frac{5}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎24x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎24 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

פשט.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

החסר את ‎192x-40y=184 מ- ‎192x+24y=504 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

הוסף את ‎192x ל- ‎-192x. האיברים ‎192x ו- ‎-192x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$24y+40y=504-184$$

הוסף את ‎24y ל- ‎40y.

$$64y=504-184$$

הוסף את ‎504 ל- ‎-184.

$$64y=320$$

חלק את שני האגפים ב- ‎64.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎24x-5y=23. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$24x-5\times 5=23$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎5.

$$24x-25=23$$

הוסף ‎25 לשני אגפי המשוואה.

$$24x=48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎24.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=5$$