פתור את {r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+2y=24$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-2y+24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+24}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-8x+2y=-30.

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎\frac{-2y+24}{7}.

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

הוסף את ‎\frac{16y}{7} ל- ‎2y.

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

הוסף ‎\frac{192}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{30}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{7} ב- ‎-\frac{3}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

הוסף את ‎\frac{24}{7} ל- ‎\frac{6}{35} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{18}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

החסר את ‎-8x+2y=-30 מ- ‎7x+2y=24 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7x+8x=24+30$$

הוסף את ‎7x ל- ‎8x.

$$15x=24+30$$

הוסף את ‎24 ל- ‎30.

$$15x=54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$x=\frac{18}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{18}{5} במקום x ב- ‎-8x+2y=-30. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎\frac{18}{5}.

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

הוסף ‎\frac{144}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$2y=-\frac{6}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-\frac{3}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$