פתור את {r}{6x+8y=k}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 8 y = k } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

$$y=\frac{k}{2}-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+8y=k$$

החסר ‎8y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-8y+k$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+k\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-8y+k.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}$$

השתמש ב- ‎-\frac{4y}{3}+\frac{k}{6} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=1.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}+y=1$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{3} ל- ‎y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{k}{6}=1$$

החסר ‎\frac{k}{6} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{k}{6}+1$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

השתמש ב- ‎-3+\frac{k}{2} במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{3}\left(\frac{k}{2}-3\right)+\frac{k}{6}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎-3+\frac{k}{2}.

$$x=-\frac{2k}{3}+4+\frac{k}{6}$$

הוסף את ‎\frac{k}{6} ל- ‎4-\frac{2k}{3}.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-8}&-\frac{8}{6-8}\\-\frac{1}{6-8}&\frac{6}{6-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}k+4\\\frac{1}{2}k-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{2}+4\\\frac{k}{2}-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$6x+8y=k,6x+6y=6$$

החסר את ‎6x+6y=6 מ- ‎6x+8y=k על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+8y-6y=k-6$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8y-6y=k-6$$

הוסף את ‎8y ל- ‎-6y.

$$2y=k-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

השתמש ב- ‎\frac{k}{2}-3 במקום y ב- ‎x+y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+\frac{k}{2}-3=1$$

החסר ‎-3+\frac{k}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$