פתור את {r}{5y+x=44}{y-x=4}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 y + x = 44 } \\ { y - x = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=4$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5y+x=44,y-x=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5y+x=44$$

החסר ‎x משני אגפי המשוואה.

$$5y=-x+44$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-x+44\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-x+44.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-x+44}{5} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-x=4.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}-x=4$$

הוסף את ‎-\frac{x}{5} ל- ‎-x.

$$-\frac{6}{5}x+\frac{44}{5}=4$$

החסר ‎\frac{44}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{6}{5}x=-\frac{24}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{6}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום x ב- ‎y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{44}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎4.

$$y=\frac{-4+44}{5}$$

הוסף את ‎\frac{44}{5} ל- ‎-\frac{4}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=8,x=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5y+x=44,y-x=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&\frac{5}{5\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 44+\frac{1}{6}\times 4\\\frac{1}{6}\times 44-\frac{5}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=8,x=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5y+x=44,y-x=4$$

כדי להפוך את ‎5y ו- ‎y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$5y+x=44,5y+5\left(-1\right)x=5\times 4$$

פשט.

$$5y+x=44,5y-5x=20$$

החסר את ‎5y-5x=20 מ- ‎5y+x=44 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5y-5y+x+5x=44-20$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-5y. האיברים ‎5y ו- ‎-5y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x+5x=44-20$$

הוסף את ‎x ל- ‎5x.

$$6x=44-20$$

הוסף את ‎44 ל- ‎-20.

$$6x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום x ב- ‎y-x=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-4=4$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$y=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=8,x=4$$