פתור את {r}{5x-4y=21}{10x+7y=57}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 4 y = 21 } \\ { 10 x + 7 y = 57 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-4y=21,10x+7y=57$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-4y=21$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=4y+21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+21\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎4y+21.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{21}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{4y+21}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎10x+7y=57.

$$10\left(\frac{4}{5}y+\frac{21}{5}\right)+7y=57$$

הכפל את ‎10 ב- ‎\frac{4y+21}{5}.

$$8y+42+7y=57$$

הוסף את ‎8y ל- ‎7y.

$$15y+42=57$$

החסר ‎42 משני אגפי המשוואה.

$$15y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=\frac{4}{5}y+\frac{21}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{4+21}{5}$$

הוסף את ‎\frac{21}{5} ל- ‎\frac{4}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-4y=21,10x+7y=57$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\57\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-4\\10&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\57\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\57\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\57\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\times 10\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\times 10\right)}\\-\frac{10}{5\times 7-\left(-4\times 10\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\57\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{75}&\frac{4}{75}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\57\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{75}\times 21+\frac{4}{75}\times 57\\-\frac{2}{15}\times 21+\frac{1}{15}\times 57\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-4y=21,10x+7y=57$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎10x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎10 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$10\times 5x+10\left(-4\right)y=10\times 21,5\times 10x+5\times 7y=5\times 57$$

פשט.

$$50x-40y=210,50x+35y=285$$

החסר את ‎50x+35y=285 מ- ‎50x-40y=210 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$50x-50x-40y-35y=210-285$$

הוסף את ‎50x ל- ‎-50x. האיברים ‎50x ו- ‎-50x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-40y-35y=210-285$$

הוסף את ‎-40y ל- ‎-35y.

$$-75y=210-285$$

הוסף את ‎210 ל- ‎-285.

$$-75y=-75$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-75.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎10x+7y=57. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$10x+7=57$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$10x=50$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=1$$