פתור את {r}{5x-2y=-1}{x+4y=35}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 2 y = - 1 } \\ { x + 4 y = 35 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-2y=-1$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=2y-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y-1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎2y-1.

$$x=\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{2y-1}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+4y=35.

$$\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}+4y=35$$

הוסף את ‎\frac{2y}{5} ל- ‎4y.

$$\frac{22}{5}y-\frac{1}{5}=35$$

הוסף ‎\frac{1}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{22}{5}y=\frac{176}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{22}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{5}\times 8-\frac{1}{5}$$

הכפל את ‎\frac{2}{5} ב- ‎8.

$$x=\frac{16-1}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{5} ל- ‎\frac{16}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\times 4-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-1\right)+\frac{1}{11}\times 35\\-\frac{1}{22}\left(-1\right)+\frac{5}{22}\times 35\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$5x-2y=-1,5x+5\times 4y=5\times 35$$

פשט.

$$5x-2y=-1,5x+20y=175$$

החסר את ‎5x+20y=175 מ- ‎5x-2y=-1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x-2y-20y=-1-175$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-20y=-1-175$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-20y.

$$-22y=-1-175$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎-175.

$$-22y=-176$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-22.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎x+4y=35. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+4\times 8=35$$

הכפל את ‎4 ב- ‎8.

$$x+32=35$$

החסר ‎32 משני אגפי המשוואה.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=8$$