פתור את {r}{5x+2/3y=-12}{-6x-1/3y=20}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + \frac { 2 } { 3 } y = - 12 } \\ { - 6 x - \frac { 1 } { 3 } y = 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-4$$

$$y=12$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12$$

החסר ‎\frac{2y}{3} משני אגפי המשוואה.

$$5x=-\frac{2}{3}y-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{3}y-12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-\frac{2y}{3}-12.

$$x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2y}{15}-\frac{12}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-6x-\frac{1}{3}y=20.

$$-6\left(-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}\right)-\frac{1}{3}y=20$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎-\frac{2y}{15}-\frac{12}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{72}{5}-\frac{1}{3}y=20$$

הוסף את ‎\frac{4y}{5} ל- ‎-\frac{y}{3}.

$$\frac{7}{15}y+\frac{72}{5}=20$$

החסר ‎\frac{72}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{15}y=\frac{28}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{15}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=12$$

השתמש ב- ‎12 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{15}\times 12-\frac{12}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{15} ב- ‎12.

$$x=\frac{-8-12}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{12}{5} ל- ‎-\frac{8}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=12$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&-\frac{\frac{2}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&\frac{5}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{18}{7}&\frac{15}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-12\right)-\frac{2}{7}\times 20\\\frac{18}{7}\left(-12\right)+\frac{15}{7}\times 20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-4,y=12$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎-6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$-6\times 5x-6\times \frac{2}{3}y=-6\left(-12\right),5\left(-6\right)x+5\left(-\frac{1}{3}\right)y=5\times 20$$

פשט.

$$-30x-4y=72,-30x-\frac{5}{3}y=100$$

החסר את ‎-30x-\frac{5}{3}y=100 מ- ‎-30x-4y=72 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-30x+30x-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

הוסף את ‎-30x ל- ‎30x. האיברים ‎-30x ו- ‎30x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎\frac{5y}{3}.

$$-\frac{7}{3}y=72-100$$

הוסף את ‎72 ל- ‎-100.

$$-\frac{7}{3}y=-28$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=12$$

השתמש ב- ‎12 במקום y ב- ‎-6x-\frac{1}{3}y=20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-6x-\frac{1}{3}\times 12=20$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎12.

$$-6x-4=20$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$-6x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=12$$