פתור את {r}{4x-y=1}{3x+y=9}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - y = 1 } \\ { 3 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

$$y = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-y=1$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎y+1.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{1+y}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=9.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{1+y}{4}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}+y=9$$

הוסף את ‎\frac{3y}{4} ל- ‎y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{3}{4}=9$$

החסר ‎\frac{3}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{4}y=\frac{33}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{33}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{33}{7} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{33}{7}+\frac{1}{4}$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎\frac{33}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{33}{28}+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎\frac{33}{28} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{10}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 9\\-\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\\\frac{33}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3,4\times 3x+4y=4\times 9$$

פשט.

$$12x-3y=3,12x+4y=36$$

החסר את ‎12x+4y=36 מ- ‎12x-3y=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x-3y-4y=3-36$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y-4y=3-36$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-4y.

$$-7y=3-36$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-36.

$$-7y=-33$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=\frac{33}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{33}{7} במקום y ב- ‎3x+y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+\frac{33}{7}=9$$

החסר ‎\frac{33}{7} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{30}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{10}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$