פתור את {r}{4x-7y=-2}{42x-21y=-42}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 7 y = - 2 } \\ { 42 x - 21 y = - 42 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-7y=-2,42x-21y=-42$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-7y=-2$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=7y-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y-2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎7y-2.

$$x=\frac{7}{4}y-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{7y}{4}-\frac{1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎42x-21y=-42.

$$42\left(\frac{7}{4}y-\frac{1}{2}\right)-21y=-42$$

הכפל את ‎42 ב- ‎\frac{7y}{4}-\frac{1}{2}.

$$\frac{147}{2}y-21-21y=-42$$

הוסף את ‎\frac{147y}{2} ל- ‎-21y.

$$\frac{105}{2}y-21=-42$$

הוסף ‎21 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{105}{2}y=-21$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{105}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{2}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{5} במקום y ב- ‎x=\frac{7}{4}y-\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{4}\left(-\frac{2}{5}\right)-\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{7}{4} ב- ‎-\frac{2}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{7}{10}-\frac{1}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{2} ל- ‎-\frac{7}{10} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{6}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{6}{5},y=-\frac{2}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-7y=-2,42x-21y=-42$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\42&-21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-42\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-7\\42&-21\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\42&-21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\42&-21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\42&-21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-42\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\42&-21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-42\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\42&-21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-42\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{4\left(-21\right)-\left(-7\times 42\right)}&-\frac{-7}{4\left(-21\right)-\left(-7\times 42\right)}\\-\frac{42}{4\left(-21\right)-\left(-7\times 42\right)}&\frac{4}{4\left(-21\right)-\left(-7\times 42\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-42\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{30}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{105}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-42\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\left(-2\right)+\frac{1}{30}\left(-42\right)\\-\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{2}{105}\left(-42\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{6}{5},y=-\frac{2}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-7y=-2,42x-21y=-42$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎42x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎42 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$42\times 4x+42\left(-7\right)y=42\left(-2\right),4\times 42x+4\left(-21\right)y=4\left(-42\right)$$

פשט.

$$168x-294y=-84,168x-84y=-168$$

החסר את ‎168x-84y=-168 מ- ‎168x-294y=-84 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$168x-168x-294y+84y=-84+168$$

הוסף את ‎168x ל- ‎-168x. האיברים ‎168x ו- ‎-168x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-294y+84y=-84+168$$

הוסף את ‎-294y ל- ‎84y.

$$-210y=-84+168$$

הוסף את ‎-84 ל- ‎168.

$$-210y=84$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-210.

$$y=-\frac{2}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{5} במקום y ב- ‎42x-21y=-42. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$42x-21\left(-\frac{2}{5}\right)=-42$$

הכפל את ‎-21 ב- ‎-\frac{2}{5}.

$$42x+\frac{42}{5}=-42$$

החסר ‎\frac{42}{5} משני אגפי המשוואה.

$$42x=-\frac{252}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎42.

$$x=-\frac{6}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{6}{5},y=-\frac{2}{5}$$