פתור את {r}{4x-6=-2y}{x+9=y}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 6 = - 2 y } \\ { x + 9 = y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2y משני הצדדים.

$$4x-6+2y=0$$

הוסף ‎6 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$4x+2y=6$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x+9-y=0$$

החסר ‎9 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-y=-9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+2y=6,x-y=-9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+2y=6$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-2y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-2y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+3}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=-9.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=-9$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎-y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=-9$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{21}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎-\frac{7}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2y משני הצדדים.

$$4x-6+2y=0$$

הוסף ‎6 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$4x+2y=6$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x+9-y=0$$

החסר ‎9 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-y=-9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+2y=6,x-y=-9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{6}\times 6-\frac{2}{3}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2y משני הצדדים.

$$4x-6+2y=0$$

הוסף ‎6 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$4x+2y=6$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x+9-y=0$$

החסר ‎9 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-y=-9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+2y=6,x-y=-9$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$4x+2y=6,4x+4\left(-1\right)y=4\left(-9\right)$$

פשט.

$$4x+2y=6,4x-4y=-36$$

החסר את ‎4x-4y=-36 מ- ‎4x+2y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+2y+4y=6+36$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+4y=6+36$$

הוסף את ‎2y ל- ‎4y.

$$6y=6+36$$

הוסף את ‎6 ל- ‎36.

$$6y=42$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x-y=-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-7=-9$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=7$$