פתור את {r}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-2y+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$4x-2y=-4$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=2y-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-4+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x+3y-3=0.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{y}{2}-1.

$$-2y+4+3y-3=0$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎3y.

$$y+4-3=0$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-3.

$$y+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-1.

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎-\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

פשט.

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

החסר את ‎-16x+12y-12=0 מ- ‎-16x+8y-16=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

הוסף את ‎-16x ל- ‎16x. האיברים ‎-16x ו- ‎16x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8y-12y-16+12=0$$

הוסף את ‎8y ל- ‎-12y.

$$-4y-16+12=0$$

הוסף את ‎-16 ל- ‎12.

$$-4y-4=0$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$-4y=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎-4x+3y-3=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-1.

$$-4x-3-3=0$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎-3.

$$-4x-6=0$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$-4x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$