פתור את {r}{4x+3y=17}{3x-4y+6=0}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x + 3 y = 17 } \\ { 3 x - 4 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y=17$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y+17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+17\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y+17.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+17}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-4y+6=0.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}\right)-4y+6=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-3y+17}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{51}{4}-4y+6=0$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{4} ל- ‎-4y.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{51}{4}+6=0$$

הוסף את ‎\frac{51}{4} ל- ‎6.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{75}{4}=0$$

החסר ‎\frac{75}{4} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{25}{4}y=-\frac{75}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{25}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{17}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎3.

$$x=\frac{-9+17}{4}$$

הוסף את ‎\frac{17}{4} ל- ‎-\frac{9}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&-\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 17+\frac{3}{25}\left(-6\right)\\\frac{3}{25}\times 17-\frac{4}{25}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 17,4\times 3x+4\left(-4\right)y+4\times 6=0$$

פשט.

$$12x+9y=51,12x-16y+24=0$$

החסר את ‎12x-16y+24=0 מ- ‎12x+9y=51 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+9y+16y-24=51$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y+16y-24=51$$

הוסף את ‎9y ל- ‎16y.

$$25y-24=51$$

הוסף ‎24 לשני אגפי המשוואה.

$$25y=75$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎3x-4y+6=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-4\times 3+6=0$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$3x-12+6=0$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎6.

$$3x-6=0$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=3$$