פתור את {r}{4x+3y=15}{x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x + 3 y = 15 } \\ { x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y=15,x-2y=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y=15$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y+15.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+15}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-2y=12.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}-2y=12$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{4} ל- ‎-2y.

$$-\frac{11}{4}y+\frac{15}{4}=12$$

החסר ‎\frac{15}{4} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{33}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)+\frac{15}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎-3.

$$x=\frac{9+15}{4}$$

הוסף את ‎\frac{15}{4} ל- ‎\frac{9}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y=15,x-2y=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 15+\frac{3}{11}\times 12\\\frac{1}{11}\times 15-\frac{4}{11}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y=15,x-2y=12$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$4x+3y=15,4x+4\left(-2\right)y=4\times 12$$

פשט.

$$4x+3y=15,4x-8y=48$$

החסר את ‎4x-8y=48 מ- ‎4x+3y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+3y+8y=15-48$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y+8y=15-48$$

הוסף את ‎3y ל- ‎8y.

$$11y=15-48$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-48.

$$11y=-33$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x-2y=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-2\left(-3\right)=12$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-3.

$$x+6=12$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-3$$