פתור את {r}{32x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$32x+3y=5$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$32x=-3y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎32.

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{32} ב- ‎-3y+5.

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+5}{32} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-3y+5}{32}.

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{32} ל- ‎2y.

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

החסר ‎\frac{15}{32} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{55}{32}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{445}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{445}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{32} ב- ‎\frac{445}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

הוסף את ‎\frac{5}{32} ל- ‎-\frac{1335}{352} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{40}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

כדי להפוך את ‎32x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎32.

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

פשט.

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

החסר את ‎96x+64y=2240 מ- ‎96x+9y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

הוסף את ‎96x ל- ‎-96x. האיברים ‎96x ו- ‎-96x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y-64y=15-2240$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-64y.

$$-55y=15-2240$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-2240.

$$-55y=-2225$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-55.

$$y=\frac{445}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{445}{11} במקום y ב- ‎3x+2y=70. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{445}{11}.

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

החסר ‎\frac{890}{11} משני אגפי המשוואה.

$$3x=-\frac{120}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-\frac{40}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$