פתור את {r}{22x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 22 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

$$y = \frac{305}{7} = 43\frac{4}{7} \approx 43.571428571$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$22x+3y=5$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$22x=-3y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎22.

$$x=\frac{1}{22}\left(-3y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{22} ב- ‎-3y+5.

$$x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+5}{22} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}\right)+2y=70$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-3y+5}{22}.

$$-\frac{9}{22}y+\frac{15}{22}+2y=70$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{22} ל- ‎2y.

$$\frac{35}{22}y+\frac{15}{22}=70$$

החסר ‎\frac{15}{22} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{35}{22}y=\frac{1525}{22}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{35}{22}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{305}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{305}{7} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{22}\times \frac{305}{7}+\frac{5}{22}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{22} ב- ‎\frac{305}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{915}{154}+\frac{5}{22}$$

הוסף את ‎\frac{5}{22} ל- ‎-\frac{915}{154} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{40}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{22\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}&\frac{22}{22\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}&-\frac{3}{35}\\-\frac{3}{35}&\frac{22}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}\times 5-\frac{3}{35}\times 70\\-\frac{3}{35}\times 5+\frac{22}{35}\times 70\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{7}\\\frac{305}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

כדי להפוך את ‎22x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎22.

$$3\times 22x+3\times 3y=3\times 5,22\times 3x+22\times 2y=22\times 70$$

פשט.

$$66x+9y=15,66x+44y=1540$$

החסר את ‎66x+44y=1540 מ- ‎66x+9y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$66x-66x+9y-44y=15-1540$$

הוסף את ‎66x ל- ‎-66x. האיברים ‎66x ו- ‎-66x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y-44y=15-1540$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-44y.

$$-35y=15-1540$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-1540.

$$-35y=-1525$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-35.

$$y=\frac{305}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{305}{7} במקום y ב- ‎3x+2y=70. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\times \frac{305}{7}=70$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{305}{7}.

$$3x+\frac{610}{7}=70$$

החסר ‎\frac{610}{7} משני אגפי המשוואה.

$$3x=-\frac{120}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-\frac{40}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$