פתור את {r}{2x+3y=7}{5x+2y=1}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 5 x + 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=7$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+7}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+2y=1.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+2y=1$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-3y+7}{2}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{35}{2}+2y=1$$

הוסף את ‎-\frac{15y}{2} ל- ‎2y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

החסר ‎\frac{35}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{33}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎3.

$$x=\frac{-9+7}{2}$$

הוסף את ‎\frac{7}{2} ל- ‎-\frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 2-3\times 5}&\frac{2}{2\times 2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}\times 7-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7,2\times 5x+2\times 2y=2$$

פשט.

$$10x+15y=35,10x+4y=2$$

החסר את ‎10x+4y=2 מ- ‎10x+15y=35 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+15y-4y=35-2$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y-4y=35-2$$

הוסף את ‎15y ל- ‎-4y.

$$11y=35-2$$

הוסף את ‎35 ל- ‎-2.

$$11y=33$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎5x+2y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+2\times 3=1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$5x+6=1$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$5x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=3$$