פתור את {r}{2x+3y=10}{-3x+y=18}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-4$$

$$y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=10$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+y=18.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

הוסף את ‎\frac{9y}{2} ל- ‎y.

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{2}y=33$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎6.

$$x=-9+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-9.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-4,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

פשט.

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

החסר את ‎-6x+2y=36 מ- ‎-6x-9y=-30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

הוסף את ‎-6x ל- ‎6x. האיברים ‎-6x ו- ‎6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9y-2y=-30-36$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎-2y.

$$-11y=-30-36$$

הוסף את ‎-30 ל- ‎-36.

$$-11y=-66$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎-3x+y=18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x+6=18$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-3x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=6$$