פתור עבור x, y
x=-4
y=6
גרף
שתף
הועתק ללוח
2x+3y=10,-3x+y=18
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
2x+3y=10
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
2x=-3y+10
החסר 3y משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)
חלק את שני האגפים ב- 2.
x=-\frac{3}{2}y+5
הכפל את \frac{1}{2} ב- -3y+10.
-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18
השתמש ב- -\frac{3y}{2}+5 במקום x במשוואה השניה, -3x+y=18.
\frac{9}{2}y-15+y=18
הכפל את -3 ב- -\frac{3y}{2}+5.
\frac{11}{2}y-15=18
הוסף את \frac{9y}{2} ל- y.
\frac{11}{2}y=33
הוסף 15 לשני אגפי המשוואה.
y=6
חלק את שני אגפי המשוואה ב- \frac{11}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=-\frac{3}{2}\times 6+5
השתמש ב- 6 במקום y ב- x=-\frac{3}{2}y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=-9+5
הכפל את -\frac{3}{2} ב- 6.
x=-4
הוסף את 5 ל- -9.
x=-4,y=6
המערכת נפתרה כעת.
2x+3y=10,-3x+y=18
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)
עבור מטריצת 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=-4,y=6
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
2x+3y=10,-3x+y=18
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18
כדי להפוך את 2x ו- -3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- -3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 2.
-6x-9y=-30,-6x+2y=36
פשט.
-6x+6x-9y-2y=-30-36
החסר את -6x+2y=36 מ- -6x-9y=-30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
-9y-2y=-30-36
הוסף את -6x ל- 6x. האיברים -6x ו- 6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
-11y=-30-36
הוסף את -9y ל- -2y.
-11y=-66
הוסף את -30 ל- -36.
y=6
חלק את שני האגפים ב- -11.
-3x+6=18
השתמש ב- 6 במקום y ב- -3x+y=18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
-3x=12
החסר 6 משני אגפי המשוואה.
x=-4
חלק את שני האגפים ב- -3.
x=-4,y=6
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}