פתור את {r}{12x+3y=5}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$12x+3y=5$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$12x=-3y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{12} ב- ‎-3y+5.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{4}+\frac{5}{12} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{y}{4}+\frac{5}{12}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{4} ל- ‎2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

החסר ‎\frac{5}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{23}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{23}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎\frac{23}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

הוסף את ‎\frac{5}{12} ל- ‎-\frac{23}{20} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{11}{15}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

כדי להפוך את ‎12x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎12.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

פשט.

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

החסר את ‎36x+24y=84 מ- ‎36x+9y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

הוסף את ‎36x ל- ‎-36x. האיברים ‎36x ו- ‎-36x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y-24y=15-84$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-24y.

$$-15y=15-84$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-84.

$$-15y=-69$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$y=\frac{23}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{23}{5} במקום y ב- ‎3x+2y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{23}{5}.

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

החסר ‎\frac{46}{5} משני אגפי המשוואה.

$$3x=-\frac{11}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-\frac{11}{15}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$