פתור את {r}{10x-10y=-10}{+-10x+8y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { 10 x - 10 y = - 10 } \\ { + - 10 x + 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$10x-10y=-10$$

הוסף ‎10y לשני אגפי המשוואה.

$$10x=10y-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=\frac{1}{10}\left(10y-10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{10} ב- ‎-10+10y.

$$x=y-1$$

השתמש ב- ‎y-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-10x+8y=12.

$$-10\left(y-1\right)+8y=12$$

הכפל את ‎-10 ב- ‎y-1.

$$-10y+10+8y=12$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎8y.

$$-2y+10=12$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$-2y=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-1-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎-1.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&\frac{10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

כדי להפוך את ‎10x ו- ‎-10x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-10 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎10.

$$-10\times 10x-10\left(-10\right)y=-10\left(-10\right),10\left(-10\right)x+10\times 8y=10\times 12$$

פשט.

$$-100x+100y=100,-100x+80y=120$$

החסר את ‎-100x+80y=120 מ- ‎-100x+100y=100 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-100x+100x+100y-80y=100-120$$

הוסף את ‎-100x ל- ‎100x. האיברים ‎-100x ו- ‎100x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$100y-80y=100-120$$

הוסף את ‎100y ל- ‎-80y.

$$20y=100-120$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-120.

$$20y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎-10x+8y=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-10x+8\left(-1\right)=12$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-1.

$$-10x-8=12$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$-10x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=-1$$