פתור את {r}{1.2x+3y=8}{6x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { r } { 1.2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2.5$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$1.2x+3y=8$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$1.2x=-3y+8$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎1.2, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{5}{6}\left(-3y+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{5}{6} ב- ‎-3y+8.

$$x=-2.5y+\frac{20}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{2}+\frac{20}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-3y=10.

$$6\left(-2.5y+\frac{20}{3}\right)-3y=10$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-\frac{5y}{2}+\frac{20}{3}.

$$-15y+40-3y=10$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-3y.

$$-18y+40=10$$

החסר ‎40 משני אגפי המשוואה.

$$-18y=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-18.

$$y=\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{3} במקום y ב- ‎x=-2.5y+\frac{20}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2.5\times \frac{5}{3}+\frac{20}{3}$$

הכפל את ‎-2.5 ב- ‎\frac{5}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{25}{6}+\frac{20}{3}$$

הוסף את ‎\frac{20}{3} ל- ‎-\frac{25}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{5}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{1.2}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}&\frac{5}{36}\\\frac{5}{18}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}\times 8+\frac{5}{36}\times 10\\\frac{5}{18}\times 8-\frac{1}{18}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.5\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2.5,y=\frac{5}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

כדי להפוך את ‎\frac{6x}{5} ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.2.

$$6\times 1.2x+6\times 3y=6\times 8,1.2\times 6x+1.2\left(-3\right)y=1.2\times 10$$

פשט.

$$7.2x+18y=48,7.2x-3.6y=12$$

החסר את ‎7.2x-3.6y=12 מ- ‎7.2x+18y=48 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$7.2x-7.2x+18y+3.6y=48-12$$

הוסף את ‎\frac{36x}{5} ל- ‎-\frac{36x}{5}. האיברים ‎\frac{36x}{5} ו- ‎-\frac{36x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18y+3.6y=48-12$$

הוסף את ‎18y ל- ‎\frac{18y}{5}.

$$21.6y=48-12$$

הוסף את ‎48 ל- ‎-12.

$$21.6y=36$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎21.6, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{3} במקום y ב- ‎6x-3y=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-3\times \frac{5}{3}=10$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{5}{3}.

$$6x-5=10$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$6x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{5}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$