פתור את {r}{-7x+2y=-39}{9x-5y=55}

$$\left. \begin{array} { r } { - 7 x + 2 y = - 39 } \\ { 9 x - 5 y = 55 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-7x+2y=-39$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$-7x=-2y-39$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-39\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{7} ב- ‎-2y-39.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{2y+39}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎9x-5y=55.

$$9\left(\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}\right)-5y=55$$

הכפל את ‎9 ב- ‎\frac{2y+39}{7}.

$$\frac{18}{7}y+\frac{351}{7}-5y=55$$

הוסף את ‎\frac{18y}{7} ל- ‎-5y.

$$-\frac{17}{7}y+\frac{351}{7}=55$$

החסר ‎\frac{351}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{17}{7}y=\frac{34}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{17}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{39}{7}$$

הכפל את ‎\frac{2}{7} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-4+39}{7}$$

הוסף את ‎\frac{39}{7} ל- ‎-\frac{4}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{2}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{7}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}&-\frac{2}{17}\\-\frac{9}{17}&-\frac{7}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}\left(-39\right)-\frac{2}{17}\times 55\\-\frac{9}{17}\left(-39\right)-\frac{7}{17}\times 55\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

כדי להפוך את ‎-7x ו- ‎9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-7.

$$9\left(-7\right)x+9\times 2y=9\left(-39\right),-7\times 9x-7\left(-5\right)y=-7\times 55$$

פשט.

$$-63x+18y=-351,-63x+35y=-385$$

החסר את ‎-63x+35y=-385 מ- ‎-63x+18y=-351 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-63x+63x+18y-35y=-351+385$$

הוסף את ‎-63x ל- ‎63x. האיברים ‎-63x ו- ‎63x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18y-35y=-351+385$$

הוסף את ‎18y ל- ‎-35y.

$$-17y=-351+385$$

הוסף את ‎-351 ל- ‎385.

$$-17y=34$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-17.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎9x-5y=55. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$9x-5\left(-2\right)=55$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-2.

$$9x+10=55$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$9x=45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-2$$