פתור את {r}{-6x+21y=-24}{+quad6x-4y=24}

$$\left. \begin{array} { r } { - 6 x + 21 y = - 24 } \\ { + \quad 6 x - 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-6x+21y=-24$$

החסר ‎21y משני אגפי המשוואה.

$$-6x=-21y-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-21y-24\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{6} ב- ‎-21y-24.

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

השתמש ב- ‎\frac{7y}{2}+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-4y=24.

$$6\left(\frac{7}{2}y+4\right)-4y=24$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{7y}{2}+4.

$$21y+24-4y=24$$

הוסף את ‎21y ל- ‎-4y.

$$17y+24=24$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$17y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎17.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=\frac{7}{2}y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{21}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\\-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}&\frac{7}{34}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}\left(-24\right)+\frac{7}{34}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-24\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

כדי להפוך את ‎-6x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-6.

$$6\left(-6\right)x+6\times 21y=6\left(-24\right),-6\times 6x-6\left(-4\right)y=-6\times 24$$

פשט.

$$-36x+126y=-144,-36x+24y=-144$$

החסר את ‎-36x+24y=-144 מ- ‎-36x+126y=-144 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-36x+36x+126y-24y=-144+144$$

הוסף את ‎-36x ל- ‎36x. האיברים ‎-36x ו- ‎36x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$126y-24y=-144+144$$

הוסף את ‎126y ל- ‎-24y.

$$102y=-144+144$$

הוסף את ‎-144 ל- ‎144.

$$102y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎102.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎6x-4y=24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=0$$