פתור את {r}{-2a+3b=0}{2a+5b=16}

$$\left. \begin{array} { r } { - 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=3$$

$$b=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-2a+3b=0$$

החסר ‎3b משני אגפי המשוואה.

$$-2a=-3b$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

השתמש ב- ‎\frac{3b}{2} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎2a+5b=16.

$$2\times \frac{3}{2}b+5b=16$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{3b}{2}.

$$3b+5b=16$$

הוסף את ‎3b ל- ‎5b.

$$8b=16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$b=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום b ב- ‎a=\frac{3}{2}b. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=\frac{3}{2}\times 2$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎2.

$$a=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=3,b=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{-2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 16\\\frac{1}{8}\times 16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=3,b=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

כדי להפוך את ‎-2a ו- ‎2a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-2.

$$2\left(-2\right)a+2\times 3b=0,-2\times 2a-2\times 5b=-2\times 16$$

פשט.

$$-4a+6b=0,-4a-10b=-32$$

החסר את ‎-4a-10b=-32 מ- ‎-4a+6b=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-4a+4a+6b+10b=32$$

הוסף את ‎-4a ל- ‎4a. האיברים ‎-4a ו- ‎4a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6b+10b=32$$

הוסף את ‎6b ל- ‎10b.

$$16b=32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$b=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום b ב- ‎2a+5b=16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$2a+5\times 2=16$$

הכפל את ‎5 ב- ‎2.

$$2a+10=16$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$2a=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$a=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=3,b=2$$