פתור את {r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

החסר ‎2 משני האגפים.

$$2x-3y=-9-2$$

החסר את 2 מ- -9 כדי לקבל -11.

$$2x-3y=-11$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

כנס את ‎3x ו- ‎3x כדי לקבל ‎6x.

$$6x+15-3y=12$$

החסר ‎15 משני האגפים.

$$6x-3y=12-15$$

החסר את 15 מ- 12 כדי לקבל -3.

$$6x-3y=-3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=-11$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y-11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y-11.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y-11}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-3y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{3y-11}{2}.

$$9y-33-3y=-3$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-3y.

$$6y-33=-3$$

הוסף ‎33 לשני אגפי המשוואה.

$$6y=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎5.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{11}{2} ל- ‎\frac{15}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

החסר ‎2 משני האגפים.

$$2x-3y=-9-2$$

החסר את 2 מ- -9 כדי לקבל -11.

$$2x-3y=-11$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

כנס את ‎3x ו- ‎3x כדי לקבל ‎6x.

$$6x+15-3y=12$$

החסר ‎15 משני האגפים.

$$6x-3y=12-15$$

החסר את 15 מ- 12 כדי לקבל -3.

$$6x-3y=-3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

החסר ‎2 משני האגפים.

$$2x-3y=-9-2$$

החסר את 2 מ- -9 כדי לקבל -11.

$$2x-3y=-11$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

כנס את ‎3x ו- ‎3x כדי לקבל ‎6x.

$$6x+15-3y=12$$

החסר ‎15 משני האגפים.

$$6x-3y=12-15$$

החסר את 15 מ- 12 כדי לקבל -3.

$$6x-3y=-3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

החסר את ‎6x-3y=-3 מ- ‎2x-3y=-11 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎3y. האיברים ‎-3y ו- ‎3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-6x=-11+3$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-6x.

$$-4x=-11+3$$

הוסף את ‎-11 ל- ‎3.

$$-4x=-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום x ב- ‎6x-3y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$6\times 2-3y=-3$$

הכפל את ‎6 ב- ‎2.

$$12-3y=-3$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$-3y=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=5$$