פתור את {l}{y-5=3x}{2y=7x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { y - 5 = 3 x } \\ { 2 y = 7 x + 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=1$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-5-3x=0$$

הוסף ‎5 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$y-3x=5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$2y-7x=9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-3x=5,2y-7x=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-3x=5$$

הוסף ‎3x לשני אגפי המשוואה.

$$y=3x+5$$

השתמש ב- ‎3x+5 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎2y-7x=9.

$$2\left(3x+5\right)-7x=9$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3x+5.

$$6x+10-7x=9$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-7x.

$$-x+10=9$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎y=3x+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=3+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎3.

$$y=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=8,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-5-3x=0$$

הוסף ‎5 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$y-3x=5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$2y-7x=9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-3x=5,2y-7x=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{-7-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{-7-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{-7-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 5-3\times 9\\2\times 5-9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=8,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-5-3x=0$$

הוסף ‎5 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$y-3x=5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$2y-7x=9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-3x=5,2y-7x=9$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2y+2\left(-3\right)x=2\times 5,2y-7x=9$$

פשט.

$$2y-6x=10,2y-7x=9$$

החסר את ‎2y-7x=9 מ- ‎2y-6x=10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2y-2y-6x+7x=10-9$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6x+7x=10-9$$

הוסף את ‎-6x ל- ‎7x.

$$x=10-9$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-9.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎2y-7x=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2y-7=9$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$2y=16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=8,x=1$$