פתור את {l}{y=x-6}{y=-6x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x - 6 } \\ { y = - 6 x + 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=1$$

$$y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-6$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎6x משני הצדדים.

$$y+6x=1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-x=-6,y+6x=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-x=-6$$

הוסף ‎x לשני אגפי המשוואה.

$$y=x-6$$

השתמש ב- ‎x-6 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+6x=1.

$$x-6+6x=1$$

הוסף את ‎x ל- ‎6x.

$$7x-6=1$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$7x=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎y=x-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=1-6$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎1.

$$y=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-5,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-6$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎6x משני הצדדים.

$$y+6x=1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-x=-6,y+6x=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{6-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{6-\left(-1\right)}&\frac{1}{6-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-5,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-6$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎6x משני הצדדים.

$$y+6x=1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-x=-6,y+6x=1$$

החסר את ‎y+6x=1 מ- ‎y-x=-6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-x-6x=-6-1$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-x-6x=-6-1$$

הוסף את ‎-x ל- ‎-6x.

$$-7x=-6-1$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎-1.

$$-7x=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎y+6x=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y+6=1$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$y=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-5,x=1$$