פתור את {l}{y=8x-11}{y=x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 8 x - 11 } \\ { y = x + 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎8x משני האגפים.

$$y-8x=-11$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-8x=-11,y-x=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-8x=-11$$

הוסף ‎8x לשני אגפי המשוואה.

$$y=8x-11$$

השתמש ב- ‎8x-11 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-x=2.

$$8x-11-x=2$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-x.

$$7x-11=2$$

הוסף ‎11 לשני אגפי המשוואה.

$$7x=13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{13}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{7} במקום x ב- ‎y=8x-11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=8\times \frac{13}{7}-11$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{13}{7}.

$$y=\frac{104}{7}-11$$

הוסף את ‎-11 ל- ‎\frac{104}{7}.

$$y=\frac{27}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{13}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎8x משני האגפים.

$$y-8x=-11$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-8x=-11,y-x=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{-1-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&\frac{1}{-1-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-11\right)+\frac{8}{7}\times 2\\-\frac{1}{7}\left(-11\right)+\frac{1}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{13}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎8x משני האגפים.

$$y-8x=-11$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-8x=-11,y-x=2$$

החסר את ‎y-x=2 מ- ‎y-8x=-11 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-8x+x=-11-2$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-8x+x=-11-2$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎x.

$$-7x=-11-2$$

הוסף את ‎-11 ל- ‎-2.

$$-7x=-13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=\frac{13}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{7} במקום x ב- ‎y-x=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-\frac{13}{7}=2$$

הוסף ‎\frac{13}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{27}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{13}{7}$$