פתור את {l}{y=7.50p+45}{y=-0.60p+300}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7.50 p + 45 } \\ { y = - 0.60 p + 300 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, p

$$y = \frac{2530}{9} = 281\frac{1}{9} \approx 281.111111111$$

$$p = \frac{850}{27} = 31\frac{13}{27} \approx 31.481481481$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎7.5p משני האגפים.

$$y-7.5p=45$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎0.6p משני הצדדים.

$$y+0.6p=300$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-7.5p=45$$

הוסף ‎\frac{15p}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$y=7.5p+45$$

השתמש ב- ‎\frac{15p}{2}+45 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+0.6p=300.

$$7.5p+45+0.6p=300$$

הוסף את ‎\frac{15p}{2} ל- ‎\frac{3p}{5}.

$$8.1p+45=300$$

החסר ‎45 משני אגפי המשוואה.

$$8.1p=255$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎8.1, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$p=\frac{850}{27}$$

השתמש ב- ‎\frac{850}{27} במקום p ב- ‎y=7.5p+45. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=7.5\times \frac{850}{27}+45$$

הכפל את ‎7.5 ב- ‎\frac{850}{27} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{2125}{9}+45$$

הוסף את ‎45 ל- ‎\frac{2125}{9}.

$$y=\frac{2530}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎7.5p משני האגפים.

$$y-7.5p=45$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎0.6p משני הצדדים.

$$y+0.6p=300$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.6}{0.6-\left(-7.5\right)}&-\frac{-7.5}{0.6-\left(-7.5\right)}\\-\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}&\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{25}{27}\\-\frac{10}{81}&\frac{10}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 45+\frac{25}{27}\times 300\\-\frac{10}{81}\times 45+\frac{10}{81}\times 300\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2530}{9}\\\frac{850}{27}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- p.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎7.5p משני האגפים.

$$y-7.5p=45$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎0.6p משני הצדדים.

$$y+0.6p=300$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

החסר את ‎y+0.6p=300 מ- ‎y-7.5p=45 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-7.5p-0.6p=45-300$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-7.5p-0.6p=45-300$$

הוסף את ‎-\frac{15p}{2} ל- ‎-\frac{3p}{5}.

$$-8.1p=45-300$$

הוסף את ‎45 ל- ‎-300.

$$-8.1p=-255$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-8.1, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$p=\frac{850}{27}$$

השתמש ב- ‎\frac{850}{27} במקום p ב- ‎y+0.6p=300. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y+0.6\times \frac{850}{27}=300$$

הכפל את ‎0.6 ב- ‎\frac{850}{27} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y+\frac{170}{9}=300$$

החסר ‎\frac{170}{9} משני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{2530}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$