פתור את {l}{y=7x+3}{y=x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7 x + 3 } \\ { y = x + 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=1$$

$$y=10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$y-7x=3$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-7x=3,y-x=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-7x=3$$

הוסף ‎7x לשני אגפי המשוואה.

$$y=7x+3$$

השתמש ב- ‎7x+3 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-x=9.

$$7x+3-x=9$$

הוסף את ‎7x ל- ‎-x.

$$6x+3=9$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$6x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎y=7x+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=7+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎7.

$$y=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=10,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$y-7x=3$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-7x=3,y-x=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-7\right)}&-\frac{-7}{-1-\left(-7\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-7\right)}&\frac{1}{-1-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 3+\frac{7}{6}\times 9\\-\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=10,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$y-7x=3$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-7x=3,y-x=9$$

החסר את ‎y-x=9 מ- ‎y-7x=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-7x+x=3-9$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-7x+x=3-9$$

הוסף את ‎-7x ל- ‎x.

$$-6x=3-9$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-9.

$$-6x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎y-x=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-1=9$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$y=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=10,x=1$$