פתור את {l}{y=4x-2}{y=-x+18}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 2 } \\ { y = - x + 18 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=4$$

$$y=14$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=-2$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎x משני הצדדים.

$$y+x=18$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-4x=-2,y+x=18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-4x=-2$$

הוסף ‎4x לשני אגפי המשוואה.

$$y=4x-2$$

השתמש ב- ‎4x-2 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+x=18.

$$4x-2+x=18$$

הוסף את ‎4x ל- ‎x.

$$5x-2=18$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום x ב- ‎y=4x-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=4\times 4-2$$

הכפל את ‎4 ב- ‎4.

$$y=16-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎16.

$$y=14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=14,x=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=-2$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎x משני הצדדים.

$$y+x=18$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-4x=-2,y+x=18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-4\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{4}{5}\times 18\\-\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{1}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=14,x=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=-2$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎x משני הצדדים.

$$y+x=18$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-4x=-2,y+x=18$$

החסר את ‎y+x=18 מ- ‎y-4x=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-4x-x=-2-18$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4x-x=-2-18$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎-x.

$$-5x=-2-18$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-18.

$$-5x=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום x ב- ‎y+x=18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y+4=18$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$y=14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=14,x=4$$